Колебательный контур ? это электрическая цепь, содержащая катушку индуктивности и конденсатор. В такой электрической цепи происходят колебания электрического тока и напряжения, и взаимная трансформация энергии электрического поля и энергии магнитного поля.
Процессы в колебательном контуре
У заряженного конденсатора на одной пластине находится определенное количество отрицательного заряда, а на другой ? положительного. Поскольку между пластинами конденсатора расположен диэлектрик (или воздух, и пластины не соприкасаются) ? заряд не может прямо перейти из одной пластины на другую. Но как только такой конденсатор оказывается подключенным к проводящей цепи, один конец которой связан с одной пластиной ? а другой с другой, заряды начинают переходить от пластины к пластине по «длинному пути» ? через всю цепь. Постепенно конденсатор разряжается ? теряет заряд, а в цепи наблюдается ток, ведь ток ? это направленные движения зарядов.
Если в цепи, кроме проводов и резисторов, находится катушка индуктивности, в равномерный и быстрый процесс перераспределения заряда вмешивается ЭДС самоиндукции катушки. Согласно правилу Ленца, втекающий в катушку ток вызывает ЭДС самоиндукции ? а ЭДС самоиндукции создает индуцированный ток, направленный так, чтобы препятствовать изменению тока в цепи. Если ток в цепи вдруг резко увеличивается ? индукционный ток стремиться его уменьшить, если ток в сети вдруг уменьшается ? индукционный ток стремиться его увеличивать.
Поэтому из?за катушки индуктивности заряд не переходит сразу через всю цепь, от одной обкладки конденсатора к другой. Сила тока в цепи медленно увеличивается ? потому что ее быстрому росту препятствует ЭДС самоиндукции катушки. Максимальной сила тока становится в тот момент, когда конденсатор разряжен (обе его обкладки обладают нулевым зарядом). В этот момент сила тока максимальна благодаря тому, что как только ее перестает наращивать конденсатор за счет потерянных зарядов ? ЭДС самоиндукции прекращает ей препятствовать.
Но разряженный конденсатор больше не может поддерживать силу тока ? ведь заряда на его обкладках нет, и не будь в цепи катушки индукции, ток бы прекратился. Однако здесь вновь срабатывает правило Ленца: после того как сила тока достигла максимума и начала уменьшаться ? в катушке возникает ЭДС и индукционные токи, которые стремятся вернуть силу тока такой, как она была ? максимальной. Поэтому, даже после того, как конденсатор разряжен, в цепи продолжает течь ток. Заряды попадают на обкладку конденсатора и постепенно заряжают ее. На этот раз, та обкладка конденсатора, которая была заряжена положительно и принимала заряд, начинает накапливать отрицательный заряд, а так обкладка, которая была заряжена отрицательно, становится заряженной положительно.
После того как конденсатор зарядится ? он вновь начинает разряжаться. Таким образом, в контуре происходят колебания заряда, силы тока, напряжения и энергий магнитного и электрического поля в катушке индуктивности и конденсаторе.
Цикл процессов, происходящих в колебательном контуре:
1: Начальное состояние ? конденсатор заряжен до максимального заряда Qm, но силы тока в цепи пока нет.
2. Конденсатор разряжается ? заряд переходит от одной обкладки на другую через всю цепь, сила тока в цепи постепенно увеличивается.
3. Конденсатор разряжен ? весь заряд с обкладок уже ушел, сила тока в цепи максимальна и равна Im.
4. Конденсатор заряжается ? сила тока в цепи уменьшается, а конденсатор получает заряд.
5. Конденсатор перезаряжен ? но теперь та обкладка, которая была положительно заряженной, стала отрицательно заряженной, и наоборот. Тока в цепи нет.
6. Конденсатор вновь разряжается, но в обратную сторону ? и ток течет в сторону, обратную тому, что был на этапе 2.
7. Конденсатор разряжен ? ток достиг максимума, а заряда на конденсаторе нет.
Для постоянного тока сила тока определялась как количество заряда, прошедшее через сечение проводника за некоторый промежуток времени: I =?q/ ?t, где
I ? сила тока, [А];
?q ? количество заряда, [Кл];
?t ? время, [c].
Но переменный ток изменяет в цепи свою величину и свое направление, поэтому силу переменного тока определяют как производную количества заряда по времени:
I = = qt', где
I ? сила тока, [А];
q ? количество заряда, [Кл];
t ? время, [c].
Заряд в колебательном контуре изменяется по гармоническому закону q(t) = Qmaxsin(?t + ?0), где
q ? количество заряда, [Кл];
Qmax ? максимальный заряд (амплитуда колебаний заряда), [Кл];
? ? циклическая частота колебаний [рад/с];
?0 ? начальная фаза колебаний, [рад];
t ? время, [c].
Следовательно, сила тока в контуре изменяется по закону I = qt' = (Qmaxsin(?t + ?0))t' = Qmax?cos(?t + ?0). При этом Qmax? ? максимальная сила тока в цепи: Imax = Qmax?.
Сила тока в цепи переменного тока равна I = Imaxcos(?t + ?0), где
Imax ? максимальная сила тока в цепи, [A];
? ? циклическая частота колебаний [рад/с];
?0 ? начальная фаза колебаний, [рад];
t ? время, [c].
В колебательном контуре происходит трансформация энергии электрического поля в энергию магнитного поля.
Энергия электрического поля заряженного конденсатора равна We = = = , где
We ? энергия электрического поля конденсатора, [Дж];
C ? электроемкость конденсатора, [Ф];
U ? напряжение на обкладках конденсатора, [В];
q ? заряд на обкладках конденсатора, [Кл].
Так как напряжение на обкладках конденсатора в цепи переменного тока величина переменная, то и энергия электрического поля конденсатора ? переменна.
Энергия электрического поля конденсатора всегда положительна.
Энергия магнитного поля индукционной катушки равна Wm = , где
Wm ? энергия магнитного поля индукционной катушки, [Дж];
L ? индуктивность катушки, [Гн];
I ? сила тока, [А].
Как видно из формулы, энергия магнитного поля катушка также всегда положительна ? вне зависимости от того, какое из направлений силы тока принято в качестве положительного, а какое ? в качестве отрицательно, сила тока, возведенная в квадрат, всегда будет положительной величиной.
Согласно закону сохранения энергии, полная энергия колебательного контура постоянна в любой момент времени: W = Wm max = We max = We + Wm, где
W ? полная энергия свободных электромагнитных колебаний, W = const, [Дж];
Wm max ? максимальная энергия магнитного поля катушки индуктивности, [Дж];
We max ? максимальная энергия электрического поля конденсатора, [Дж];
Wm ? энергия магнитного поля катушки индуктивности, [Дж];
We ? энергия электрического поля конденсатора, [Дж];
или W = CU^2/2 + LI^2/2, где
W ? полная энергия свободных электромагнитных колебаний, W = const, [Дж];
C ? электроемкость конденсатора, [Ф];
U ? напряжение на обкладках конденсатора, [В];
Umax ? максимальное напряжение на обкладках конденсатора, [В];
L ? индуктивность катушки, [Гн];
I ? сила тока в катушке индуктивности, [А];
Imax ? максимальная сила тока в катушке индуктивности, [A].
Частота колебаний силы тока и напряжения в колебательном контуре определяются формулой Томпсона и зависят только от индуктивности катушки и электроемкости конденсатора. Частота и период гармонических колебаний в колебательном контуре равны v = и T = 2?vLC, где
v ? частота колебаний [Гц];
Т ? период колебаний [c];
L ? индуктивность катушки [Гн];
С ? электроёмкость конденсатора [Ф].
