a > 0 , b > 0; a0 = 1, 1x = 1; = (k ? Z, n ? N); a?x = ; ax · ay = ax+y; = ax?y; (ax)y = axy; ax · bx = (ab)x; = |
Функцию вида f (x) = a?, где a > 0 и a ? 1, называют показательной функцией.
Основные свойства показательной функции f (x) = a?:
при a > 1 | 0 < a < 1 | |
Область определения | D (f) = (??; +?) | D (f) = (??; +?) |
Область значений | E (f) = (0; +?) | E (f) = (0; +?) |
Монотонность | Возрастает | Убывает |
Непрерывность | Непрерывная | Непрерывная |
График показательной функции
Графиком показательной функции является экспонента:
Простейшие показательные уравнения
Показательными называются уравнения, содержащие переменную в показателях каких-либо степеней.
Для решения показательных уравнений требуется знать и уметь использовать следующую несложную теорему:
Теорема 1. Показательное уравнение af(?) = ag(?) (где a > 0, a ? 1) равносильно уравнению f (x) = g (x). |
Простейшее показательное уравнение — это уравнение вида:
ax = b, где а > 0, а ? 1. Такое уравнение не имеет корней при b ? 0, а при b > 0 имеет единственный корень: x = loga b.
Более сложные показательные уравнения решаются по следующей схеме:
= ; = ; = = .
Задача. Решите уравнение: 4x = .
Решение:
Итак, приведем все степени к основанию 2:
4x = (22)x = 22x; 1 = 20; 256 = 28.
Теперь перепишем исходное уравнение и выполним деление:
4x = 22x = 22x = 20?8 22x = 2?8.
Получили простейшее показательное уравнение. Отбрасываем основание — получаем:
2x = ?8 ? x = ?4.
Ответ: ?4.
Задача: Решите уравнение: 92x = .
Решение
Снова приводим все степени к наименьшему целому основанию:
92x = (32)2x = 34x; 1 = 30; 27 = 33.
Обратите внимание: число 27 не является целой степенью девятки. Именно поэтому надо приводить все степени к основанию 3, а не 9. Возвращаемся к исходному уравнению:
92x = 34x = 34x = 30?3 34x = 3?3.
Осталось избавиться от основания степени:
4x = ?3 ? x = ?3/4 = ?0,75.
Ответ: ?0,75.