Определение
Модуль числа а или абсолютная величина числа а равна а, если а больше или равно нулю и равна ?а, если а меньше нуля:
¦а¦ =
Из определения следует, что для любого действительного числа а, ¦а¦ ? 0.
Геометрически ¦а¦ означает расстояние на координатной прямой от точки, изображающей число а, до начала отсчета.
Если а ? 0, то на координатной прямой существует две точки а и ?а, равноудаленной от нуля, модули которых равны.
Если а = 0, то на координатной прямой ¦а¦изображается точкой 0.
Графиком функции y = ¦x¦ является «уголок».
I) Уравнения вида ¦f (x) ¦ = A, A ? R решаются следующим образом:
Если A < 0, то корней нет.
Если A = 0, то уравнению ¦f (x) ¦ = A соответствует уравнение f (x) = 0.
Если A > 0, то уравнению ¦f (x) ¦ = A соответствует равносильная совокупность:
II) Уравнения вида ¦f (x)¦ = g (x) решаются следующим образом:
Способ №1
Уравнению ¦f (x)¦ = g (x) соответствует равносильная совокупность систем:
Способ №2
Уравнению ¦f (x) ¦ = g (x) соответствует равносильная совокупность систем:
III) Уравнения вида ¦f (x) ¦ = ¦g (x) ¦ решаются следующим образом:
Способ №1
Уравнению ¦f (x) ¦ = ¦g (x) ¦ соответствует равносильное уравнение f2 (x) = g2 (x).
Способ №2
Уравнению ¦f (x)¦ = ¦g (x) ¦ соответствует равносильная совокупность:
IV) Уравнения вида ¦f (x) ¦ = ?f (x) и ¦f (x) ¦ = f (x) решаются следующим образом:
Уравнению ¦f (x) ¦ = ?f (x) соответствует равносильное неравенство f (x) ? 0.
Уравнению ¦f (x) ¦ = f (x) соответствует равносильное неравенство f (x) ? 0.
V) Общая схема решения уравнений содержащих знак модуль.
Например:
¦x2 ? 1¦ + ¦x2 ? 4¦ = 3.
Найдем нули выражений, стоящих под знаком модуль.
x = ±1, x = ±2.
И раскроем модуль на каждом из 5 промежутков, на которые оказалась разделена числовая ось числами x = ±1, x = ±2.
I) ?
(??; ?2] — промежуток, значит в ответ попадает только решение x = ?2.
II) ?
В ответ будет входить весь промежуток.
III) ?
Оба решения попадают в рассматриваемый промежуток.
IV) ?
В ответ будет входить весь промежуток.
V) ?
[2; +?) — промежуток, т. е. подходит решение x = 2.
Ответ: [?2; ?1] [1; 2].