Говорят, что целое число a делится на натуральное число b, если существует такое целое число c, что выполняется равенство a = bc. В этом случае число b называют делителем числа a, а число a — кратным числу b.
Если числа делится на b, то пишут \[a\; \vdots \;b\]
Пример.
\[95\; \vdots \;5\;\; так\;как\;\;95\;=\;5\; \cdot \;19\]
Свойства делимости
| Если a делится на b, то для любого числа k число ka делится на b. | \[a\; \vdots \;b\rightarrow ak\; \vdots \;b\] |
| Если a делится на c и b делится на c, то сумма, разность и произведение чисел a и b делится на c. | \[\begin{cases} a\; \vdots \;c \\ b\; \vdots \;c \end{cases}\rightarrow \begin{bmatrix}(a + b)\; \vdots \;c\\(a - b)\; \vdots \;c\\(a \cdot b)\; \vdots \;c\\ \end{bmatrix}\] |
| Если a делится на b и b делится на c, то a делится c. | \[\begin{cases} a\; \vdots \;b \\ b\; \vdots \;c \end{cases}\rightarrow a\; \vdots \;c\] |
| Если a делится на b и c делится на d, то ac делится bd. | \[\begin{cases} a\; \vdots \;b \\ c\; \vdots \;d \end{cases}\rightarrow ac\; \vdots \;bd\] |
Простые и составные числа
Число p \[\rho\geq2\] называется простым, если оно делится только на себя и на единицу.
Составными числами называются целые числа, имеющие больше двух различных делителей.
Пример.
Число 17 простое. Делители 17: 1, 17.
Число 9 составное. Делители 9: 1, 3, 9.
Единица не является ни простым, ни составным числом.
Два числа, наибольший делитель которых, равен 1, называются взаимно простыми.
Признаки делимости
Число делится на 2 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа делится на 2 (последняя цифра – четная).
Число делится на 4 тогда и только тогда, когда последние две цифры числа делятся на 4.
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда последние три цифры числа делятся на 8.
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр делится на 3.
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма цифр делится на 9.
Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа делится на 5 (последняя цифра 0 или 5).
Число делится на 25 тогда и только тогда, когда последние две цифры числа делятся на 25.
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность суммы цифр, стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах, делится на 11.
Пример 1.
123456789 делится на 3, так как 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45, а 45 делится на 3.
Пример 2.
1452 делится на 11, так как (1 + 5) – (4 + 2) делится на 11.
Деление с остатком
Пусть a и b ≠ 0 – два целых числа. Разделить число a на число b с остатком – это значит найти такие числа c и d, что выполнены следующие условия:
От деления на b могут быть только остатки: 0, 1, 2, 3…, |b|-1.
Пример 1.
19 : 7 = 2 (ост. 5)
19 = 7 ∙ 2 + 5
Пример 2.
22 : (-3) = -7 (ост. 1).
22 = -3 ∙ (-7) + 1
Пример 3.
-22 : 3 = -8 (ост. 2)
-22 = 3 ∙ (-8) + 2
Теоремы:
1) Сумма чисел a и b даёт тот же остаток при делении на число m, что и сумма остатков чисел a и b при делении на число m.
Пример.
\[\begin{cases} 15\; \div \;2=7(ост.1) \\ 16\; \div \;2=8(ост.0) \end{cases}\rightarrow (15+16)\div \;2=15(ост.1)\;(1+0)\div \;2=0(ост.1)\]
2) Произведение чисел a и b даёт тот же остаток при делении на число m, что и произведение остатков чисел a и b при делении на число m.
Пример.
