Уравнения в целых числах – уравнения с двумя и более неизвестными переменными и целыми коэффициентами. Решениями таких уравнений являются целые числа. Также такие уравнения называются диофантовыми, в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского, который изучал такие уравнения еще до нашей эры.
При решении уравнений в целых и натуральных числах можно выделить следующие способы.
1 способ. Метод перебора вариантов.
Решим уравнение в целых числах.
Так как x и у целые числа, совершим перебор вариантов:
Ответ: (3; 1), (6; -2), (1; -7), (-2; -4), (4; -1), (0; -5).
Решим уравнение 10х + 10у = 2019 в целых числах.
Поскольку при любых целых значениях х и у левая часть уравнения делится на два, а правая является нечётным числом, то уравнение не имеет решений в целых числах.
Ответ: решений нет.
Пусть нужно решить уравнение в целых числах:
Методом перебора находим решение
Получаем систему уравнений:
Из полученного равенства видно, что число (х – 2) будет целым тогда и только тогда, когда (у – 3) делится на 5, т.е. у – 3 = 5n, где n какое-нибудь целое число.
Имеем:
Тем самым все целые решения исходного уравнения можно записать в таком виде:
Ответ:
2 способ. Алгоритм Евклида
Пусть нужно решить уравнение в целых числах:
Сделаем это с помощью Алгоритма Евклида. Ищем НОД чисел 5 и 7 с помощью него:
НОД (5, 7) = НОД (5, 7-5) = НОД (5, 2) = НОД (5 - 2•2, 2) = НОД (1, 2) = 1
Запишем этот процесс в обратном порядке:
То есть:
Тогда:
Тогда является решением уравнения.
Общее решение записывается в виде:
где n – любое целое число.
Выполним проверку:
– любое целое.
Верно.
Это не всевозможные способы решения. Зачастую для решения диофантовых уравнений требуются более тонкие рассуждения, связанные с делимостью, перебором остатков, оценками частей уравнения, тождественными преобразованиями и т.п.
Пример.
Решим уравнение:
Разложить на множители и выразить переменную мы здесь не можем. Воспользуемся методом перебора остатков.
Если левая часть уравнения в целых числах кратна какому-то числу, то и другая обязательно должна быть кратна этому же числу. Отсюда следует, что и остатки от деления обеих частей уравнения на одно и то же число будут давать одинаковые остатки.
Будем делать выводы о делимости одной части уравнения на какое-либо число (или смотреть, какой остаток от деления при этом получается) и проверять, при каких значениях переменных вторая часть уравнения также делится на это число (либо даёт такой же остаток).
Левая часть кратна 5. И остатки от деления на 5 у обеих частей также будут равны.
Про пятёрку уже сказали, что правая часть делится на неё без остатка, значит и левая тоже должна делиться.
Рассмотрим остатки от деления на 4.
Видим простую закономерность, что 5 в любой степени при делении на 4 будет давать остаток 1.
Теперь левая часть: будет делиться на 4 без остатка.
Рассмотрим остатки от деления на 4 числа
И так далее. Закономерность: при чётных х остаток 1, при нечётных остаток 3.
Отсюда делаем вывод, что х - число чётное, значит, мы можем представить его как х = 2n.
Теперь рассмотрим остатки при делении обеих частей на 3.
Правая часть:
И так далее. Видим закономерность, что при чётных z остаток равен 1, при нечетных z остаток равен 2.
Рассмотрим левую часть. Число даёт остаток 0 при делении на 3.
Рассмотрим остатки от деления на 3 числа
Получается, что левая часть при делении на 3 может давать только остаток 1. Значит, и правая тоже. Это происходит при чётных z.
Вернёмся к нашему уравнению
Рассмотрев все остатки от деления, мы делаем выводы, что х и z - чётные числа. Тогда х = 2n, z = 2m, где m, n натуральные. Подставим в уравнение:
, заметим также, что
Теперь мы можем разложить на множители, используя формулу разности квадратов:
. Получается, что обе скобки должны быть степенями двойки. Мы не можем сделать никаких обоснованных выводов. Наша группировка неудачная. Попробуем иначе:
Теперь у нас обе скобки являются произведением троек. Рассмотрим такую ситуацию,
, это означает, что и а, и b кратны 3. Либо одно из чисел кратно 3, а другое равно 1.
Рассмотрим случай, когда и а, и b кратны трём. Вспомним основные свойства делимости.
Ключевым признаком здесь будет второй: в нашем случае разность a-b также будет делиться на 3.
Рассмотрим разность скобок:
- это число никогда не будет кратно 3. Значит, в нашем произведении один из множителей равен 1, а другой равен 32n. Так как ,
Итак, мы с вами уже решаем немного другое уравнение, с переменными m и n, которые зависят от х и у. И пришли к выводу, что
Эта таблица показывает, что только в одном случае при m = 1, y = 2. При их увеличении разница между и будет всё больше, поэтому это единственное решение.
Тогда z = 2m = 2, x = 2.
Ответ: (2, 2, 2)