Зачастую в геометрических задачах в условии даются отношения отрезков и площадей или отношение отрезков нужно найти. Существует ряд теорем и свойств фигур и их элементов, в которых так или иначе используются отношения.
ОТНОШЕНИЯ ОТРЕЗКОВ:
1. Все медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины: AO : AM = 2 : 1.
2. Средняя линия треугольника равна половине основания: 
3. Медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна ее половине 
4. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Произвольный параллелограмм или ромб: АО = ОС, BO = OD
| Прямоугольник или квадрат: АО = ОС = BO = OD
|
ОТНОШЕНИЯ ПЛОЩАДЕЙ:
1. Медиана разбивает треугольник на два равновеликих (по площади) треугольника: 
2. Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников:
3. Если площадь треугольника равна S, то площадь треугольника, составленного из его медиан, равна 
ЛЕММЫ О ПЛОЩАДЯХ ТРЕУГОЛЬНИКА:
Лемма 1
| Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия.
|
Лемма 2
| Если стороны треугольников с общей вершиной лежат на одной прямой, то их площади относятся как основания.
|
Лемма 3
| Если два треугольника имеют общую сторону, то их площади соотносятся как длины отрезков BE и OE.
|
Лемма 4
| Если два треугольника имеют общий угол, то их площади соотносятся как произведения соответствующих сторон, прилежащих к этому углу.
|
Продолжение леммы 4:
| Лемма 4 применима даже в том случае, если точки нового треугольника были взяты не на сторонах, а на продолжениях сторон. Пусть точка Е лежит на продолжении стороны AB за вершину В.
|
