Задача 1
а) Решите уравнение: sinx = 0,5.
б) Укажите корни, принадлежащие отрезку [-?; 2?].
Решение:
а) sinx = 0,5;
х = + 2?n или x = 5 · + 2?k, n, k Z.
Корни уравнения: + 2?n, 5 · + 2?k, k Z.
б) Теперь будем искать корни, принадлежащие отрезку [-?; 2?].
Рассмотрим 3 способа отбора корней:
?? ? + 2?n ? 2?;
?1 ? + 2n ? 2;
? 2n ?
? n ? .
Значит, n = 0, x = .
?? ? 5 · + 2?k ? 2?;
?1 ? + 2k ? 2;
? ? 2k ? ;
? ? k ? .
Значит, k = 0, х = 5 · .
Этот способ наиболее точный и если учащиеся владеют навыками решения двойного неравенства, то понятный и подходит совершенно всем и в любых случаях.
a) На окружности найдем края отрезка: точки –? и 2?.
б) Смотрим на точки — из каких серий решения попали в этот отрезок.
в) Выбираем эти точки.
Если данные отрезки бывают длиной больше 2?, тогда можно потерять некоторые корни, поэтому рекомендуется: нарисовать вторую концентрическую окружность, будто соответствующую следующему периоду (это просто модель, которая помогает решить задачу). Этот способ хорошо дается тем, кто умеет определять на окружности точки и отсчитывать периоды.
а) Чертим график у = sinx;
б) Выделяем отрезок —?; 2?;
в) Проводим прямую у = ;
г) Отмечаем точки с ординатой на искомом отрезке, получаем х = и 5 · .
Способ очень наглядный и подойдет тем, кто не усвоил вышеизложенные два способа.