Определение первообразной.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если для всех x выполняется равенство:

F'(x) = f(x)

То есть первообразная функции – это функция, от которой взяли производную и получили .

Например:

• Функция F(x) = х? является одной из первообразных* для функции f(x) = 2х, так как

F'(x) = (х?)' = 2x = f(x)

• Функция F(x) = х?+6 является одной из первообразных для функции f(x) = 3х?, так как

F'(x) = (х?)' = 3х? = f(x)

* - Фраза «одна из первообразных» предполагает, что у одной из функций есть несколько первообразных. Например, для функции f(x) = 2х первообразными являются функции F(x) = х?, F(x) = х?+5, F(x) = х?+17, и множество других. Их общий вид записывается как F(x) = х? + C, а C называются константой интегрирования.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПЕРВООБРАЗНОЙ

Пусть имеется график функции На оси ОХ отмечены две точки a и b, и через них проведены две прямые до пересечения с графиком Требуется найти площадь, ограниченную графиком осью OX и прямыми x = a и x = b (на рисунке).

Эта площадь будет считаться как определенный интеграл от функции .

Таким образом, если нам заранее известен явный вид первообразной (то есть ), то просто нужно сделать ряд простых шагов, чтобы найти площадь S:

1. Подставить в первообразную левую точку (b) и вычислить ее значение в этой точке – F(b).

2. Подставить в первообразную правую точку (a) и вычислить ее значение в этой точке - F(a).

3. Вычислить F(b) - F(a) (из значения первообразной в левой точке вычитаем значение первообразной в правой точке).