Instagram
Подписаться
Показательная функция

a > 0 , b > 0;

a0 = 1, 1x = 1;

= (k ? Z, n ? N);

a?x = ;

ax · ay = ax+y;

= ax?y;

(ax)y = axy;

ax · bx = (ab)x;

=


Функцию вида f (x) = a?, где a > 0 и a ? 1, называют показательной функцией.

Основные свойства показательной функции f (x) = a?:

при a > 1

0 < a < 1

Область определения

D (f) = (??; +?)

D (f) = (??; +?)

Область значений

E (f) = (0; +?)

E (f) = (0; +?)

Монотонность

Возрастает

Убывает

Непрерывность

Непрерывная

Непрерывная


График показательной функции

Графиком показательной функции является экспонента:

Простейшие показательные уравнения

Показательными называются уравнения, содержащие переменную в показателях каких-либо степеней.

Для решения показательных уравнений требуется знать и уметь использовать следующую несложную теорему:

Теорема 1.

Показательное уравнение af(?) = ag(?) (где a > 0, a ? 1) равносильно уравнению

f (x) = g (x).


Простейшее показательное уравнение — это уравнение вида:

ax = b, где а > 0, а ? 1. Такое уравнение не имеет корней при b ? 0, а при b > 0 имеет единственный корень: x = loga b.

Более сложные показательные уравнения решаются по следующей схеме:

  • Перевести все степени к одинаковому основанию. Желательно, чтобы оно было целым и минимальным. Например, вместо 4x лучше писать 2??, а вместо 0,01x — вообще 10???;
  • В уравнениях, где есть умножение или деление, надо выполнить эти действия. Помните: при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, при делении — вычитаются;
  • Если все сделано правильно, получим уравнение вида a f (x) = a g(x), где a — просто число. Его можно отбросить, поскольку показательная функция монотонна. Получим уравнение f (x) = g (x), которое легко решается.
  • Помните, что корни — тоже степени, но с дробным основанием:

= ; = ; = = .

Задача. Решите уравнение: 4x = .

Решение:

Итак, приведем все степени к основанию 2:

4x = (22)x = 22x; 1 = 20; 256 = 28.

Теперь перепишем исходное уравнение и выполним деление:

4x = 22x = 22x = 20?8 22x = 2?8.

Получили простейшее показательное уравнение. Отбрасываем основание — получаем:

2x = ?8 ? x = ?4.

Ответ: ?4.

Задача: Решите уравнение: 92x = .

Решение

Снова приводим все степени к наименьшему целому основанию:

92x = (32)2x = 34x; 1 = 30; 27 = 33.

Обратите внимание: число 27 не является целой степенью девятки. Именно поэтому надо приводить все степени к основанию 3, а не 9. Возвращаемся к исходному уравнению:

92x = 34x = 34x = 30?3 34x = 3?3.

Осталось избавиться от основания степени:

4x = ?3 ? x = ?3/4 = ?0,75.

Ответ: ?0,75.

Made on
Tilda