Для того, чтобы возвести число в степень с натуральным показателем , нужно умножить число само на себя раз:

В этой записи – основание, – показатель степень.

Для проведения вычислений удобно использовать формулы преобразования выражений со степенями. Они универсальны и работают для любых показателей (целых, рациональных или иррациональных).

Применим эти правила для решения следующих задач.

Пример 1

Воспользуемся формулой для частного степеней с одинаковыми основаниями.

Пример 2

Так как степень частного равна частному степеней, занесем всю дробь под одну степень.

Пример 3

Для удобства представим и занесем всю дробь под одну степень.

Иногда для записи дробных степеней используют специальный знак – корень. На самом деле корень - всего лишь дробная степень:

Чаще всего встречается квадратный корень из числа:

Выражения с корнями преобразуется по тем же правилам, что и все остальные степени.

Следует различать корни нечетной степени и корни четной степени .

Корень нечетной степени из отрицательного числа – отрицательное число; из положительного – положительное.

Корень четной степени берется только из неотрицательного числа. Само значение корня четной степени может быть только неотрицательным.

.

Пример 4

, следовательно, корень из этого выражения существует. При этом значение может быть любым. Если действовать по правилам степеней без модуля, имеем:

.

В случае отрицательного получаем, что корень четной степени равен отрицательному числу, что невозможно.

Пример 5

Так как корень – это степень, то можем воспользоваться правилом «степень произведения равна произведению степеней».

Пример 6

Частное степеней равно степени частного, поэтому занесем всю дробь под общий корень.

Пример 7

Представим число в виде произведения, чтобы можно было воспользоваться правилом «При возведении степени в степень показатели перемножаются, а основание не меняется» в обратную сторону.

Помимо выражений с числами, в заданиях часто встречаются выражения с символьными переменными. К счастью, выписанные нами формулы, продолжают работать и в этом случае.

Пример 8

Возведем степень в степень, перемножая показатели. Так как все основания одинаковые, то заменим произведение степеней на сумму показателей, а частное – на разность. Основание при этом не меняем.

Пример 9

Перепишем корень как дробный показатель. Заменим возведение степени в степень на произведение показателей. Затем преобразуем произведение степеней, сложив их показатели.