Определение

Модуль числа а или абсолютная величина числа а равна а, если а больше или равно нулю и равна ?а, если а меньше нуля:

¦а¦ =

Из определения следует, что для любого действительного числа а, ¦а¦ ? 0.

Геометрически ¦а¦ означает расстояние на координатной прямой от точки, изображающей число а, до начала отсчета.

Если а ? 0, то на координатной прямой существует две точки а и ?а, равноудаленной от нуля, модули которых равны.

Если а = 0, то на координатной прямой ¦а¦изображается точкой 0.

Графиком функции y = ¦x¦ является «уголок».

I) Уравнения вида ¦f (x) ¦ = A, A ? R решаются следующим образом:

Если A < 0, то корней нет.

Если A = 0, то уравнению ¦f (x) ¦ = A соответствует уравнение f (x) = 0.

Если A > 0, то уравнению ¦f (x) ¦ = A соответствует равносильная совокупность:

II) Уравнения вида ¦f (x)¦ = g (x) решаются следующим образом:

Способ №1

Уравнению ¦f (x)¦ = g (x) соответствует равносильная совокупность систем:

Способ №2

Уравнению ¦f (x) ¦ = g (x) соответствует равносильная совокупность систем:

III) Уравнения вида ¦f (x) ¦ = ¦g (x) ¦ решаются следующим образом:

Способ №1

Уравнению ¦f (x) ¦ = ¦g (x) ¦ соответствует равносильное уравнение f² (x) = g² (x).

Способ №2

Уравнению ¦f (x)¦ = ¦g (x) ¦ соответствует равносильная совокупность:

IV) Уравнения вида ¦f (x) ¦ = ?f (x) и ¦f (x) ¦ = f (x) решаются следующим образом:

Уравнению ¦f (x) ¦ = ?f (x) соответствует равносильное неравенство f (x) ? 0.

Уравнению ¦f (x) ¦ = f (x) соответствует равносильное неравенство f (x) ? 0.

V) Общая схема решения уравнений содержащих знак модуль.

Например:

¦x² ? 1¦ + ¦x² ? 4¦ = 3.

Найдем нули выражений, стоящих под знаком модуль.

x = ±1, x = ±2.

И раскроем модуль на каждом из 5 промежутков, на которые оказалась разделена числовая ось числами x = ±1, x = ±2.

I) ?

(??; ?2] — промежуток, значит в ответ попадает только решение x = ?2.

II) ?

В ответ будет входить весь промежуток.

III) ?

Оба решения попадают в рассматриваемый промежуток.

IV) ?

В ответ будет входить весь промежуток.

V) ?

[2; +?) — промежуток, т. е. подходит решение x = 2.

Ответ: [?2; ?1] [1; 2].