Говорят, что целое число a делится на натуральное число b, если существует такое целое число c, что выполняется равенство a = bc. В этом случае число b называют делителем числа a, а число a — кратным числу b.

Если числа делится на b, то пишут

Пример.

так как

Свойства делимости

Простые и составные числа

Число p называется простым, если оно делится только на себя и на единицу.

Составными числами называются целые числа, имеющие больше двух различных делителей.

Пример.

Число 17 простое. Делители 17: 1, 17.

Число 9 составное. Делители 9: 1, 3, 9.

Единица не является ни простым, ни составным числом.

Два числа, наибольший делитель которых, равен 1, называются взаимно простыми.

Признаки делимости

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа делится на 2 (последняя цифра – четная).

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда последние две цифры числа делятся на 4.

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда последние три цифры числа делятся на 8.

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр делится на 3.

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма цифр делится на 9.

Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа делится на 5 (последняя цифра 0 или 5).

Число делится на 25 тогда и только тогда, когда последние две цифры числа делятся на 25.

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность суммы цифр, стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах, делится на 11.

Пример 1.

123456789 делится на 3, так как 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45, а 45 делится на 3.

Пример 2.

1452 делится на 11, так как (1 + 5) – (4 + 2) делится на 11.

Деление с остатком

Пусть a и b ? 0 – два целых числа. Разделить число a на число b с остатком – это значит найти такие числа c и d, что выполнены следующие условия:

От деления на b могут быть только остатки: 0, 1, 2, 3…, |b|-1.

Пример 1.

19 : 7 = 2 (ост. 5)

19 = 7 • 2 + 5

Пример 2.

22 : (-3) = -7 (ост. 1).

22 = -3 • (-7) + 1

Пример 3.

-22 : 3 = -8 (ост. 2)

-22 = 3 • (-8) + 2

Теоремы:

1) Сумма чисел a и b даёт тот же остаток при делении на число m, что и сумма остатков чисел a и b при делении на число m.

Пример.

2) Произведение чисел a и b даёт тот же остаток при делении на число m, что и произведение остатков чисел a и b при делении на число m.

Пример.