Среди огромного множества объемных фигур можно выделить три большие группы:
ПРИЗМЫ:
n-угольная призма - многогранник, две грани которого равные n-угольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные n граней ? параллелограммы.
Примеры:
Треугольная призма | Четырехугольная призма | Шестиугольная призма |
Элементы призмы:
Два n ? угольника являются основаниями призмы (ABCD), параллелограммы ? боковыми гранями (AB B?A?). Стороны граней называются ребрами призмы (например, AD), а концы ребер ? вершинами призмы (например, D). Высота призмы - отрезок перпендикуляра, заключенный между основаниями призмы (СO). Для наклонной призмы высота может находится за пределами призмы или лежать внутри нее. Диагональ призмы - отрезок, соединяющий две вершины оснований, не лежащие в одной грани (например, B?D) |
Виды призм:
Прямая призма – призма, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований. | Наклонная призма – призма, боковые ребра которой являются наклонными к плоскостям оснований. |
– прямая треугольная призма | – наклонная треугольная призма |
Правильная призма - прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник.
Свойства призмы:
Для прямой призмы высотой будет является любое из боковых ребер. | |
— произвольная призма. | — прямая призма. |
площади основания.
Площадь боковой поверхности прямой призмы: где P — периметр перпендикулярного сечения, h — высота. То есть: - прямая призма. |
Особенные призмы:
Параллелепипед - призма, все грани которой ? параллелограммы.
Прямой параллелепипед - параллелепипед, боковые ребра которого перпендикулярны плоскостям оснований.
Прямоугольный параллелепипед - прямой параллелепипед, основанием которого является прямоугольник. Все грани – прямоугольники. | Куб (гексаэдр) - прямоугольный параллелепипед с равными ребрами. Все грани ? квадраты. |
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений: d? = a? + b? + c?, где a, b, c ? длины ребер, выходящих из одной вершины, d ? диагональ параллелепипеда. | Квадрат диагонали куба равен квадрату его ребра, умноженному на 3: d? = 3a?, где a ? длина ребра куба. Площадь поверхности куба можно найти по формуле: S = 6a? |
Объем прямоугольного параллелепипеда находят по формуле V = abc | Объем куба можно найти по формуле: V = a? |
ПИРАМИДЫ:
n-угольная пирамида – многогранник, одна грань которого – n-угольник, а остальные грани ? треугольники с общей вершиной.
Примеры:
Треугольная пирамида | Четырехугольная пирамида | Шестиугольная пирамида |
Элементы пирамиды:
n-угольник называется основанием пирамиды (ABCD), а треугольники ? боковыми гранями (например, SBC). Высота пирамиды - отрезок перпендикуляра, проведенного из вершины пирамиды к плоскости основания (SO). Для абсолютно произвольной пирамиды положение точки O заранее неизвестно. Апофема - высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из её вершины (SH). |
Особенные пирамиды:
Правильная пирамида – пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, а высота опускается в центр вписанной и описанной окружности многоугольника, лежащего в основании пирамиды. В правильной пирамиде обязательно равны между собой ребра основания, и равны между собой боковые ребра. Но не обязательно боковое ребро равно ребру в основании.
Тетраэдр - треугольная пирамида. Тетраэдр называется правильным, если все его ребра равны.
Усеченная пирамида – многогранник, вершинами которого служат вершины основания пирамиды и вершины её сечения плоскостью, параллельной основанию пирамиды. Основания усеченной пирамиды ? подобные многоугольники.
Свойства пирамиды:
Еслито О – центр вписанной окружности | Если ,то О – центр описанной окружности |
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды можно найти по одной формуле
где — периметр основания, — апофема пирамиды.
Если ABCD — произвольная пирамида, то Если ABCD — правильная пирамида, то |
ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ:
Цилиндр – фигура, полученная в результате вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон.
Элементы цилиндра:
l (AB, CD) – образующая ABCD ? осевое сечение цилиндра, полученного вращением прямоугольника вокруг его стороны |
Свойства цилиндра:
Любое сечение цилиндра, параллельное его основанию – круг, равный основанию цилиндра. Сечение цилиндра, наклонное к его оси и основанию – эллипс.
где – площадь основания цилиндра; h – высота.
Боковая поверхность равна: где R ? радиус основания, h ? высота, l ? образующая цилиндра. |
Конус – фигура, полученная в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов.
Элементы конуса:
OС ? ось вращения и высота l (AC, CB) – образующая ABC ? осевое сечение конуса, полученного вращением треугольника ABC вокруг его стороны OС |
Свойства конуса:
Любое сечение конуса, параллельное его основанию – круг, подобный основанию конуса. Сечение конуса, наклонное к его основанию и не проходящее через вершину – эллипс.
где – площадь основания конуса; h – высота.
Боковая поверхность равна: где R ? радиус основания, l ? образующая конуса. |
Сфера – фигура, полученная в результате вращения полуокружности вокруг ее диаметра.
Шар – фигура, полученная вращением полукруга вокруг его диаметра.
Свойства шара и сферы:
Сечение шара плоскостью, проходящей через его центр, называется большим кругом (круг радиуса R).
|